벡터(Vector)

벡터

• 벡터는 숫자를 원소로 가지는 list 혹은 array
• 열벡터, 행벡터 두 가지가 있음

• 원점을 기준으로한 공간상의 하나의 점을 나타냄

벡터의 차원

스칼라곱

• 벡터에 일정한 상수를 곱해주는 작업
• 벡터의 길이만 변하게됨
• 0보다 작은 값을 곱해주게 될 경우 방향이 반대로 바뀜

벡터의 덧셈과 뺄셈

• 벡터의 차원이 동일할때 덧셉과 뺄셈이 가능함

📰code

import numpy as np

a=np.array([1,2,3])
b=np.array([5,3,0])
a+b

🔍result

array([-4, -1,  3])

벡터 성분곱(Hadamard Product)

• ⨀ 기호로 사용됨

📰code

import numpy as np

a=np.array([1,2,3])
b=np.array([5,3,0])
a*b

🔍result

array([5, 6, 0])

벡터의 노름(norm)

• 벡터의 norm은 원점으로부터의 거리

• $L_1 norm :

  X

  _1$ => 변화량의 절대값을 모두 더함

• $L_2 norm :

  X

  _2$ => 유클리드 거리 계산(우리가 평범하게 알고 있는 계산법)

L1-norm 계산

• 차원의 기준 축의 절편의 크기를 모두 더한 값
• 벡터의 모든 원소에 절대값을 씌우고 더해줌

📰code

import numpy as np

def l1_norm(x):
    x_norm = np.abs(x)
    x_norm = np.sum(x_norm)
    return x_norm

x=np.array([-1,2,3])
print(l1_norm(x))

🔍result

6

L2-norm 계산

• 유클리드 거리를 이용한 계산
• 전체의 원소의 제곱합에 루트를 씌운 값

📰code

import numpy as np

def l2_norm(x):
    x_norm = x*x
    x_norm = np.sum(x_norm)
    x_norm = np.sqrt(x_norm)
    return x_norm
x=np.array([1,1,0])
print(l2_norm(x))

🔍result

1.4142135623730951

L1-norm과 L2-norm 기하학적 성질

두 벡터 사이의 거리

• 두 벡터 사이의 거리를 계산할 때는 벡터의 뺄셈을 이용함
• 순서는 상관없음
• L1,L2 노름 모두 거리를 구할 수 있음

두 벡터 사이의 각도

• L2 노름에서만 계산이 가능함
• 제2 코사인법칙을 사용하여 구할 수 있음
• 내적으로 더 쉽게 구할 수 있음

📰code

import numpy as np

def l2_norm(x):
    return np.sqrt(np.sum(x*x))

def findAngle(x,y):
    v=np.inner(x,y)/(l2_norm(x)*l2_norm(y))
    theta = np.arccos(v)
    return theta

x=np.array([1,0,0])
y=np.array([0,1,0])
print(findAngle(x,y)) #pi/2

🔍result

1.4142135623730951

벡터 내적(inner product)

• 두 벡터의 성분곱 원소들의 합으로 내적을 구할 수 있음
• np.inner(x,y) 함수가 있음
• 내적은 정상영(orthogonal projection)된 벡터의 길이와 관련 있음
• 두 벡터의 유사도를 측정하는데 사용함

📌reference

• boostcourse AI tech

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